定义

行列式(Determinant)是一个将 $n\times n$ 方阵 $\mathbf{A}$ 映射为一个标量的函数,记为 $\det{\mathbf{A}}$ 或者 $|\mathbf{A}|$,计算方式如下: $$ ssssssss $$

从几何的角度来看,方阵 $\mathbf{A}$ 表示一个从 $n$ 维空间到从 $n$ 维空间的线性变换。假设在 $n$ 维空间内存在一个超体积为 $V_1$ 的物体 $O_1$,经过变换 $\mathbf{A}$ 变成了另一个 $n$ 维空间内的一个物体 $O_2$,其超体积为 $V_2$,那么有

$$ \det{(\mathbf{A})} = \frac{V_2}{V_1} $$

这就是行列式在几何角度下的意义,即 该变换的超体积放大倍数

行列式有如下性质:

  • 行列式是方阵 $\mathbf{A}$ 的所有特征值的乘积。
  • 三角矩阵的行列式等于其对角线上所有元素(其实就是特征值)的乘积。

计算

代数余子式

我们首先要介绍几个概念:子式余子式代数余子式

对于 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 来说,假设有整数 $k$ 满足 $k \le n$,那么在 $\mathbf{A}$ 中选取 $k$ 行 $k$ 列之后产生的 $k^2$ 个交点组成的方阵的行列式称为 $\mathbf{A}$ 的 $k$ 阶 子式,而去掉这 $k$ 行 $k$ 列之后剩下的矩阵的行列式则称为 $\mathbf{A}$ 的 $k$ 阶 余子式(Minor)。

此外,若 $k=1$ 且选中第 $i$ 行、第 $j$ 列,那么我们定义 $\mathbf{A}$ 矩阵的 $(i,j)$ 代数余子式(Cofactor)$C_{i,j}$ 为它的余子式 $M_{i,j}$ 与 $(-1)^{i+j}$ 的乘积,即: $$ C_{i,j} = (-1)^{i+j} M_{i,j} $$

计算公式

按行/列展开

对于 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$,它的行列式 $\det{(\mathbf{A})}$ 的值等于它的某一行(或一列)的元素与对应的代数余子式的乘积之和,叫做行列式按行展开(或按列展开),即 $$ \begin{aligned} \det{(\mathbf{A})} &= \sum_{i=1}^n \mathbf{A}_{i,j} C_{i,j} &\text{(按第 }j\text{ 行展开)} \\ \det{(\mathbf{A})} &= \sum_{j=1}^n \mathbf{A}_{i,j} C_{i,j} &\text{(按第 }i\text{ 列展开)} \\ \end{aligned} $$

特殊:2 阶 / 3 阶

对于 2 阶、3 阶矩阵,行列式的计算刚好是矩阵每条主对角线元素乘积之和减去副对角线元素乘积之和,即: $$ \begin{aligned} \left|\begin{matrix} a_{1,1} &a_{1,2} \\ a_{2,1} &a_{2,2} \\ \end{matrix}\right| &= a_{1,1}a_{2,2} - a_{1,2}a_{2,1}

\\ \left|\begin{matrix} a_{1,1} &a_{1,2} &a_{1,3} \\ a_{2,1} &a_{2,2} &a_{2,3} \\ a_{3,1} &a_{3,2} &a_{3,3} \\ \end{matrix}\right| &= (a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3} + a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1} + a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}) - (a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2} + a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3} + a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}) \end{aligned} $$

性质

对于矩阵 $\mathbf{A}$、$\mathbf{B}$,行列式具有以下性质:

  • $\det{(\mathbf{A})} \det{(\mathbf{B})} = \det{(\mathbf{AB})} = \det{(\mathbf{BA})}$。
  • 「矩阵 $\mathbf{A}$ 可逆」等价于 $\det{(\mathbf{A})} \ne 0$。

理解行列式

TODO

参考