题目描述

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给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

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输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2:

1
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3
输入: amount = 3, coins = [2]
输出: 0
解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。

示例 3:

1
2
输入: amount = 10, coins = [10]
输出: 1

注意:

你可以假设:

  • 0 <= amount (总金额) <= 5000
  • 1 <= coin (硬币面额) <= 5000
  • 硬币种类不超过 500 种
  • 结果符合 32 位符号整数

解法 1:背包 DP

经典背包问题,用动态规划求解。

第一步找记忆。$M_j$ 表示当金额为 $j$ 时可行的组合数。

第二步找递推关系式。如下: $$ M_j \leftarrow M_j + M_{j - w_i} $$ 举个例子,如果总金额为 $j$ 时有可行组合数 $M_j$,当我新增了一个新的可选择金额 $w_i$ 时,我们从小到大扫金额,金额为 $j$ 的可能组合数是原来的可能组合数与总金额为 $j - w_i$ 的可能组合数的和。有内味了没?

第三步找初始值。即 $M$ 的第一个元素 $M_0=1$ 表示唯一合法的组合数,$M$ 的其他元素全部初始化为 0,表示都可行组合数为 0。

假设硬币种类 $n$,目标金额 $c$,那么

  • 时间复杂度为 $O(n \cdot c)$;
  • 空间复杂度为 $O(c)$。

实现与结果如下:

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class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        n = len(coins)

        m = [1] + [0 for _ in range(amount)]
        for i in range(n):
            for j in range(1, amount + 1):
                if coins[i] <= j:
                    m[j] =  m[j] + m[j - coins[i]]

        return m[-1]
  • 执行用时:252 ms,在所有 Python3 提交中击败了 42.69% 的用户。
  • 内存消耗:13.8 MB,在所有 Python3 提交中击败了 20.00% 的用户。