题目描述

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你和你的朋友,两个人一起玩 Nim 游戏:桌子上有一堆石头,每次你们轮流拿掉 1 - 3 块石头。 拿掉最后一块石头的人就是获胜者。你作为先手。

你们是聪明人,每一步都是最优解。 编写一个函数,来判断你是否可以在给定石头数量的情况下赢得游戏。

示例:

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输入: 4
输出: false

解释:
如果堆中有 4 块石头,那么你永远不会赢得比赛;
因为无论你拿走 1 块、2 块 还是 3 块石头,最后一块石头总是会被你的朋友拿走。

解法 1:数学分析

我们从小到大推推看,假设两名角色分别为 AB,且当前轮到 A 取石头:

  • 如果剩余的石头数量 $n \in [1, 3]$,那么 A 胜利;

  • 如果剩余的石头数量 $n = 4$,那么无论 A 怎么取都取不完,并且下一轮的 B 一定取得完,A 失败;

  • 如果剩余的石头数量 $n \in [5, 7]$,那么 A 可以取到石头只剩 $4$,那么 B 失败,A 胜利;

  • 如果剩余的石头数量 $n =8$,那么无论 A 怎么取都取不完,并且下一轮的 B 一定可以取到剩余 $4$,A 失败;

  • ……

综上,当角色 A 遇到的剩余石头数量为 $4$ 的倍数时,一定输,否则一定赢。

复杂度分析略。

实现与结果如下:

1
2
3
class Solution:
    def canWinNim(self, n: int) -> bool:
        return n % 4 != 0
  • 执行用时:36 ms,在所有 Python3 提交中击败了 78.41% 的用户。
  • 内存消耗:13.6 MB,在所有 Python3 提交中击败了 10.00% 的用户。